“谢谢”最早是“告辞，离去”的意思
古岳丘壑
“谢”字的甲骨文，是两只手卷着一张席子，表示撤席将要分别或离去的意思。包括早期的金文，箭矢即将射出，都是表示将要离去的意思。由于甲骨文和金文的“谢”字还有争议，还没有完全确定下来是否是“谢”字。咱就姑且先放到一边吧。
《说文解字》上说，“谢”，辞别离去也。“言”作边旁，“”作声旁。
“射”字，开始是采用的甲骨文“一弓一箭矢”的“”字，后采用的是西周时期加了“手”的“射”字。
言，顾名思义，是用言语告诉对方之意。“射”是箭矢将要被射出之意，也就是箭矢将要离开人的本身。在这里引申为即将离去的意思。所以，“谢”字最早是辞别将去的意思。
比如，花谢花开里的花凋零谢掉了，是离开植物本身的意思。再比如，头发谢顶，也是头发离开了头顶，掉了的意思。新陈代谢，也是旧的离去，新的来取代的意思。
朋友或挚友之间将要分别，是一件令人不忍或难过的事情，所以分别之前，要向对方表达歉意，和感激对方的谅解之情。所以，后期又引申为抱歉和感激以及感谢之意。
注：
“射”字在甲骨文时期，是一张“弓”和一支“箭矢”。本意是张弓放箭。西周时期的金文，多了一只挽箭的手。到了秦代，弓和箭组成的字讹变成“身”字。没有加“手”的，组和成了“”字。加了“手”的，演变成了手加一横的“寸”字，形成了“射”字。到了后期，“”和“射”字，互为异体字。
